【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為,

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓兩點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?證明你的結(jié)論.

【答案】(1)(2)存在定點(diǎn),使得為定值.

【解析】

根據(jù)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、,即可得結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)出直線(xiàn)方程,直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消去可得關(guān)于的一元二次方程,表示為,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得,令可得結(jié)果.

由題設(shè)得,,解得,∴.

故橢圓的方程為.

,當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)此時(shí)直線(xiàn)的方程為,

設(shè),,代入橢圓的方程,消去并整理得,

,,,

可得.設(shè)點(diǎn),

那么,

軸上存在定點(diǎn),使得為定值,則有,解得,

此時(shí),,

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線(xiàn)的方程為,代入橢圓方程解得,

此時(shí),,, ,

綜上,軸上存在定點(diǎn),使得為定值.

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2)當(dāng)為多少時(shí),總造價(jià)最低?并求出最低造價(jià).

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經(jīng)常使用

偶爾或不用

合計(jì)

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計(jì)

130

70

200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車(chē)情況與年齡有關(guān)?

(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車(chē)的人數(shù);

(ii)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率.

參考公式: ,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”?

(2)若將頻率視為概率,現(xiàn)再?gòu)脑撔R荒昙?jí)全體學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1名學(xué)生,抽取5次,記被抽取的5名學(xué)生中對(duì)冰球有興趣的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.

附表:

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