Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2，P是側(cè)棱CC₁上的一點，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）試問直線B₁D₁與AP能否垂直？并說明理由；
（Ⅱ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁與平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）分別求出兩條直線所在的向量，再利用向量的有關(guān)運算判斷兩個向量的夾角，進而得到答案．
（II）求出直線所在的向量以及平面的法向量，再根據(jù)向量的有關(guān)運算表示出兩個向量的夾角的正弦值，進而結(jié)合題意求出m的值．
（III）根據(jù)題意分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，m），
所以

B1D1

=(-1，-1，0)，  

AP

=(-1，1，m)，
所以

B1D1

•

AP

=1-1+0=0所以

B1D1

⊥

AP

．…（4分）
（Ⅱ）由題意可得：

BD

=(-1，-1，0)，  

B B   1

=(0，0，2)，

AC

=(-1，1，0)．
又∵

AC

•

BD

=0，  

AC

•

B B   1

=0，
∴

AC

為平面BB1D1D的一個法向量．
設(shè)直線AP與平面BDD₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=cos(

π

2

-θ)=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+ m 2

=

3

2

，解得m=

6

3

．
故當(dāng)m=

6

3

時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°．…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，
∴P（0，1，1），
∴

D1A1

=(1，0，0)，  

D1P

=(0，1，-1)，

AB

=(0，1，0)，

AP

=(-1，1，1)．
設(shè)平面PA₁D₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
所以

n1 •  D1A1 =0 n1 •  D1P =0

，即

x1=0 y1-z1=0

，
所以可求得

n1

=(0，1，1)，
設(shè)平面PAB的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，同理可求得

n2

=(1，0，1)．
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

⇒?

n1

，

n2

＞=600，
故平面PA₁D₁與平面PAB所成角為60⁰．…（12分）

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而得到空間中點、線、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關(guān)系等問題．