Question

8．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點，沿AE將△DAE折起到△D₁AE的位置，使平面D₁AE⊥平面ABCE．

（1）求證：BE⊥D₁A；
（2）求四棱錐D₁-ABCE的體積．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，求出AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，說明AE⊥BE，然后證明BE⊥平面D₁AE，即可證明結(jié)論；
（2）作D₁F⊥AE于F，則D₁F⊥平面ABCE，再利用體積公式求四棱錐D₁-ABCE的體積．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點．
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AE⊥BE，
由于平面D₁AE丄平面ABCE，BE?平面ABCE，AE為平面D₁AE與平面ABCE的交線，
∴BE丄平面D₁AE，∴BE丄D₁A…（6分）
（2）解：作D₁F⊥AE于F，則D₁F⊥平面ABCE，D₁F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
而S_ABCE=$\frac{1}{2}×（1+2）×1$=$\frac{3}{2}$，
∴四棱錐D₁-ABCE的體積為$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直，折疊問題，四棱錐D₁-ABCE的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．