Question

18．已知函數(shù)f（x）=x${\;}^{-2{m}^{2}+m+3}$ （m∈Z）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）g（x）=log₂[3-2x-f（x）]，求g（x）的定義域和值域．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，由冪函數(shù)的性質(zhì)得-2m²+m+3＞0，解得$-1＜m＜\frac{3}{2}$，可得m=0或m=1．分別討論即可得出．
（2）由（1）知$g（x）={log_2}（{-{x^2}-2x+3}）$，由-x²-2x+3＞0得-3＜x＜1，可得g（x）的定義域為（-3，1）．設(shè)t=-x²-2x+3，x∈（-3，1），則t∈（0，4]，再利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
由冪函數(shù)的性質(zhì)得-2m²+m+3＞0，
解得$-1＜m＜\frac{3}{2}$，
∵m∈Z，∴m=0或m=1．
當(dāng)m=0時，f（x）=x³不是偶函數(shù)，舍去；
當(dāng)m=1時，f（x）=x²是偶函數(shù)，
∴m=1，f（x）=x²；
（2）由（1）知$g（x）={log_2}（{-{x^2}-2x+3}）$，由-x²-2x+3＞0得-3＜x＜1，
∴g（x）的定義域為（-3，1）．
設(shè)t=-x²-2x+3，x∈（-3，1），則t∈（0，4]，
此時g（x）的值域，就是函數(shù)y=log₂t，t∈（0，4]的值域．
y=log₂t在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，∴y∈（-∞，2]；
∴函數(shù)g（x）的值域為（-∞，2]．

點評 本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．