Question

一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距（

3

+1）R處有一點光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影------橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：平面與圓柱面的截線

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，可得直角三角形AOA′，結(jié)合已知求出橢圓的a值，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出c，即可求出橢圓的離心率．

解答： 解：如圖是過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，
ED兩點為過點O引圓D的兩條切線與圓D的切點，
∵OA=（

3

+1）R，
故在Rt△OBE中，
OE=

3

R，BE=R，
則tan∠EOB=

3

3

，
即∠EOB=30°，
故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，
故AA′=2a=

3

OA=（3+

3

）R，即a=

3+ 3

2

R，

根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長軸AA′的切點是橢圓的焦點F，
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，AF是焦點到長軸頂點的距離AF=a-c=R，
∴c=

1+ 3

2

R=

3

3

a，
所求橢圓的離心率e=

c

a

=

3

3

，
故答案為：

3

3

點評：本題以空間的圓錐為載體，考查了圓錐曲線的形成過程，同時考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．