Question

某工廠有214名工人，現(xiàn)要生產(chǎn)1500件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品由3個(gè)A型零件與1個(gè)B型零件配套組成，每個(gè)工人加工5個(gè)A型零件與3個(gè)B型零件所需時(shí)間相同．現(xiàn)將全部工人分為兩組，分別加工一種零件，同時(shí)開始加工．設(shè)加工A型零件的工人有x人，在單位時(shí)間內(nèi)每人加工A型零件5k個(gè) （k∈N*），加工完A型零件所需時(shí)間為g（x），加工完B型零件所需時(shí)間為h （x）．
（Ⅰ）試比較g（x）與h（x）大小，并寫出完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）怎樣分組才能使完成任務(wù)所需時(shí)間最少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，A型零件共需要4500個(gè)，B型零件共需要1500個(gè)，加工B型零件的工人有214-x人，單位時(shí)間內(nèi)每人加工B型零件3k個(gè)，可求的g(x)=

4500

5kx

=

900

kx

，h(x)=

1500

3k(214-x)

=

500

k(214-x)

，比較g（x）與h（x）的大小，即可得到分段函數(shù)；
（Ⅱ）分組才能使完成任務(wù)所需時(shí)間最少，即求當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）最小，根據(jù)當(dāng)1≤x≤137（x∈N^*）時(shí)，g(x)=

900

kx

為減函數(shù)；當(dāng)137≤x≤213（x∈N^*）時(shí)，h(x)=

500

k(214-x)

為增函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，A型零件共需要4500個(gè)，B型零件共需要1500個(gè)，加工B型零件的工人有214-x人，單位時(shí)間內(nèi)每人加工B型零件3k個(gè)，所以g(x)=

4500

5kx

=

900

kx

，h(x)=

1500

3k(214-x)

=

500

k(214-x)

∴g（x）-h（x）=

100

k

×

2(963-7x)

x(214-x)

∵0＜x＜214，且x∈N^*，∴當(dāng)1≤x≤137（x∈N^*）時(shí)，g（x）＞h（x）；當(dāng)137≤x≤213（x∈N^*）時(shí)，g（x）＜h（x）；
∴f（x）=

900 kx ，1≤x≤137 500 k(214-x) ，137≤x≤213

（其中x∈N^*）
（Ⅱ）分組才能使完成任務(wù)所需時(shí)間最少，即求當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）最小
∵當(dāng)1≤x≤137（x∈N^*）時(shí)，g(x)=

900

kx

為減函數(shù)；當(dāng)137≤x≤213（x∈N^*）時(shí)，h(x)=

500

k(214-x)

為增函數(shù)

f(137)

f(138)

=

900

137k

×

76k

500

＜1
∴x=137時(shí)，f（x）最小
即加工A型零件137人，加工B型零77人，完成任務(wù)所需時(shí)間最少

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的問題．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式．