Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點與短軸的兩個端點構成邊長為2的等邊三角形，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（x₁≠x₂）是橢圓上不同的兩點，且x₁x₂+4y₁y₂=0．
（1）求橢圓C的方程．
（2）求證：x₁²+x₂²=4．
（3）在x軸上是否存在一點P（t，0），使|

PM

|=|

PN

|？若存在，求出t的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，結合等邊三角形的性質，可得a=2，b=1，代入橢圓方程，可得答案；
（Ⅱ）由x₁x₂+4y₁y₂=0，左右同時平方可得x₁²x₂²=16y₁²y₂²，結合橢圓的方程，可得x₁²x₂²=16y₁²y₂²=16-4（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²，計算可得答案；
（Ⅲ）首先假設存在點P（t，0），根據題意，轉化可得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）=y₂²-y₁²，結合橢圓的方程與根與系數的關系，化簡可得z2-

8

3

•z+

32t2-18

9

=0，令其△＞0，可得t的取值范圍，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題設左焦點與短軸的兩個端點構成邊長為2的等邊三角形，
可得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由x₁x₂+4y₁y₂=0，得x₁²x₂²=16y₁²y₂²
∵x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4
∴x₁²x₂²=16y₁²y₂²=16-4（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²
故x₁²+x₂²=4
（Ⅲ）假設存在點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，
則（x₁-t）²+y₁²=（x₂-t）²+y₂²
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）=y₂²-y₁²
故(x1-x2)(x1+x2-2t)=

(x1-x2)(x1+x2)

4

x₁≠x₂，∴x1+x2=

8

3

t
又x1x2=

(x1+x2)2-( x 2 1 + x 2 2 )

2

=

32t2-18

9

，
∴x₁，x₂是方程z2-

8

3

•z+

32t2-18

9

=0的兩個根
由△=

64

9

t2-

4(32t2-18)

9

＞0，得-

3 2

4

＜t＜

3 2

4

，
故存在點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，且t的取值范圍為(-

3 2

4

，

3 2

4

)

點評：本題考查橢圓的性質與其性質的應用，注意（Ⅲ）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．