Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足，點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y²=2px（p＞0）交于D、E兩點(diǎn)．
（1），求拋物線的方程；
（2）過動(dòng)點(diǎn)（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范圍；
（ii）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)Q，求△QAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知點(diǎn)C的軌跡是M，N兩點(diǎn)所在的直線，故點(diǎn)C所在的軌跡方程是y=x-4．設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則=（x₁，y₁），，由，得（x-4）²=2px，由此能求出拋物線方程．
（2）（i）（1）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，進(jìn)而根據(jù)判別是對大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表達(dá)式，求得AB的長度的表達(dá)式，根據(jù)|AB|的范圍確定a的范圍
（2）設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，令坐標(biāo)為（x₃，y₃），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得x₃的坐標(biāo)，進(jìn)而求得EM的長度．根據(jù)△MNE為等腰直角三角形，求得EQ的長度，進(jìn)而表示出△QAB的面積，根據(jù)|AB|范圍確定三角形面積的最大值．
解答：解：（1）由，知點(diǎn)C的軌跡是M，N兩點(diǎn)所在的直線，
故點(diǎn)C所在的軌跡方程是，即y=x-4．
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則=（x₁，y₁），，
由，得（x-4）²=2px，
∴x²-（2p+8）x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8，
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-8p，
∵，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴16-8p=0，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）（i）直線l的方程為y=x-a
將y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0．
設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則
又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴==．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴．
解得．
（ii）設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，令坐標(biāo)為（x₃，y₃），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，．
∴|EM|²=（a+p-a）²+（p-0）²=2p²，
又△MNE為等腰直角三角形，
∴|EQ|=|EM|=
∴=
=p|AB|=，
即△QAB面積最大值為．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．