Question

【題目】已知橢圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓O在C的內(nèi)部，且與C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與C只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中垂線交x軸于點(diǎn)P，試求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據(jù)單位圓O在C的內(nèi)部,且與C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)可得,再聯(lián)立與C求得二次方程令判別式等于0即可求得.

(2) 由題意設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立直線l與橢圓的方程,再利用韋達(dá)定理與面積公式求得關(guān)于的面積的表達(dá)式,最后利用換元求導(dǎo)分析函數(shù)的最值即可.

解：（1）依題意,得

將代入橢圓的方程,得

由,解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）可得左焦點(diǎn)

由題意設(shè)直線l的方程為,

代入橢圓方程,得

設(shè),則

所以,AB的中點(diǎn)為

設(shè)點(diǎn),則,解得

故

令,則,且

設(shè),則

所以,即的面積的最大值為