過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦點F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點，若|
AF
|=2|
FB
|，則橢圓的離心率e=
 
．
分析：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，設(shè)A、B兩點在l上的射影分別為C、D，連接AC、BD，過點B作BG⊥AC利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再結(jié)合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出邊之間的長度之比，可得離心率的值．
解答：精英家教網(wǎng)解：如圖，設(shè)設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，過A點作AC⊥l于C，
過點B作BD⊥l于D，再過B點作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：e=
AF
AC
=
BF
BD
，
∵|
AF
|=2|
FB
|
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=
1
2
AC…②
①、②比較，可得AB=AC，
又∵AF=
2
3
AB
∴e=
AF
AC
=
AF
AB
=
2
3

答：所求的離心率為
2
3
點評：運用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，結(jié)合解含有60°的直角三角形，求橢圓的離心率，屬于幾何方法，運算量小，方便快捷．
本題還有設(shè)直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)解，尋求a、b、c的一個關(guān)系式，再解一個關(guān)于離心率的方程，但是計算過程較為繁瑣，同學(xué)們不妨試試，加以比較．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點M，引橢圓C的兩條切線，切點為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點（2
2
，0）；
（3）當(dāng)點M的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點A做圓x2+y2=b2的切線，切點為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點C，若點B恰為A、C的中點，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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