Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³+ax²-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，x=1取得極小值從而有f′（1）=0，代入可求a；
（2）由關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，?關(guān)于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數(shù)解，?y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點；
（3）根據(jù)函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標(biāo)軸無交點，則f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，構(gòu)造關(guān)于P的不等式組，解不等式組求出實數(shù)p的取值范圍．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³+ax²-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
故x=1取得極小值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=x³+2x²+2ax-2
∴f′（1）=1+2+2a-2=0，解得a=-

1

2

；
（2）由（1）知f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³-

1

2

x²-2x-2，
∴f′（x）=x³+2x²-x-2=（x+1）（x-1）（x+2），
令f′（x）=0得x=-1，x=1，x=-2

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	減	極小值	增	極大值	減	極小值	增

所以函數(shù)f（x）有極小值f（1）=-

43

12

，f（-2）=-

4

3

，極大值f（-1）=-

11

12

，
因關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，令2^x=t（t＞0）
即關(guān)于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數(shù)解，
即y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點．
而y=f（t）的圖象與y=f（x）的圖象一致．
又f（0）=-2由圖可知-

4

3

＜m＜-

11

12

；
（3）∵函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的真數(shù)部分為f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函數(shù)y=log2[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值為f（-1）=-

5

12

，即f（x）≤-

5

12

，
所以f（x）+p≤p-

5

12

，
，要使f（x）+p≠1，只有p-

5

12

＜1，才能滿足題意，解之得，p＜

17

12

，
又由f（x）+p＞0，即p＞

5

12

，
故p的范圍是

5

12

＜p＜

17

12

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的極值之間的關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用．