已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)>0
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明
(2)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0.
解:(1)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),下面證明:
令y=x=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),
所以f(-x)=-f(x),
又f(x)定義域為R,關于原點對稱,
所以f(x)為奇函數(shù);
(2)任取x1,x2,且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1),
因為x>0時,f(x)>0,且x2-x1>0,
所以f(x2-x1)>0,即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),
所以f(x)為R上的增函數(shù),
f(a-4)+f(2a+1)<0?f(2a+1)<-f(a-4)=f(4-a),
由f(x)為增函數(shù)得,2a+1<4-a,解得a<1.
所以不等式的解集為{a|a<1}.
分析:(1)賦值法:根據(jù)所給恒等式,令x=y=0可得f(0)=0,令y=-x,可得f(-x)與f(x)的關系,據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷;
(2)先用單調性的定義判斷函數(shù)的單調性,由奇偶性、單調性的性質可把把不等式中的符號“f”去掉,從而變?yōu)榫唧w不等式;
點評:本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調性的判斷及其應用,考查抽象不等式的求解,關于抽象函數(shù)的性質問題往往運用定義解決,而解決抽象不等式的基本思路是轉化為具體不等式求解.