Question

已知一元二次方程x²+2ax+（7a-6）=0（a∈R）有兩個不等的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（a）=a+

4

a-1

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得判別式△=4a²-4（7a-6）＞0，由此解的要求的a的范圍．
（Ⅱ）分當(dāng)a＞6時和當(dāng)a＜1時兩種情況，分別利用級不等式，求得f（a）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得判別式△=4a²-4（7a-6）＞0，解得 a＞6，或 a＜1，
故要求的a的范圍為{a|a＞6，或 a＜1}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞6時，a-1＞5，f（a）=a+

4

a-1

=（a-1）+

4

a-1

+1≥2

(a-1)• 4 a-1

+1=5，
當(dāng)且僅當(dāng)=（a-1）=

4

a-1

時，取等號，即當(dāng)a=3時，f（a）取得最小值為5．
故有f（a）＞f（6）=

34

5

．
當(dāng)a＜1時，-f（a）=（1-a）+

4

1-a

-1≥2

(1-a)• 4 1-a

-1=3，
∴f（a）≤-3，當(dāng)且僅當(dāng)（1-a）=

4

1-a

，即 a=-1時，取等號，
綜上，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-3]∪（

34

5

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．