如圖所示，一科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東α角的射線OZ方向航行，而在離港口3
13
海里的北偏東β角的A處有一個(gè)供給科考船物資的小島，其中tanα=
1
3
，tanβ=
3
2
．現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)沿海岸線港口O正東t（t＞7）海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經(jīng)測(cè)算當(dāng)兩船運(yùn)行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時(shí)，這種補(bǔ)給最適宜．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式S（t）；
（2）應(yīng)征調(diào)t為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜．
考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
專題：解三角形
分析：（1）先建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出OZ的方程，進(jìn)而求得A，B的坐標(biāo)，表示出直線AB的方程，聯(lián)立求得C的坐標(biāo)，表示出S．
（2）令t-7=m，展開S的表達(dá)式，用基本不等式求得S的最小值，及此時(shí)t的值．
解答： 解 （1）如圖建系
OZ：y=3x
xA=3
13
sinβ=9，yA=3
13
cosβ=6，
則A（9，6），B（t，0），
AB：6x-（9-t）y-6t=0，
聯(lián)立直線OZ，AB可得C（
2t
t-7
，
6t
t-7
），
S=
1
2
t•
6t
t-7
=
3t2
t-7
（t＞7）

（2）令t-7=m（m＞0）
S=
3(m+7)2
m
=3（m+
49
m
+14）≥3×（2
49
+14）=84，
當(dāng)且僅當(dāng)m=7即t=14時(shí)取等號(hào)
答：應(yīng)征調(diào)t=14海里處的船只，補(bǔ)給最適宜．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵時(shí)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M（-1，2），Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|=|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程（　　）
A、2x+y+1=0
B、2x-y-5=0
C、2x-y-1=0
D、2x-y+5=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義域在R上的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（1）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

經(jīng)英國相關(guān)機(jī)構(gòu)判斷，MH370在南印度洋海域消失．中國兩艦艇隨即在邊長為100海里的某正方形ABCD（如圖）海域內(nèi)展開搜索．兩艘搜救船在A處同時(shí)出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且∠PAQ=
π
4
（其中點(diǎn)P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域?yàn)槠矫嫠倪呅蜛PCQ圍成的海平面．設(shè)∠PAB=θ，搜索區(qū)域的面積為S．
（1）試建立S與tanθ的關(guān)系式，并指出θ的取值范圍；
（2）求S的最大值，并求此時(shí)tanθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一元二次方程x2+2ax+（7a-6）=0（a∈R）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（a）=a+
4
a-1
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求三棱錐E-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且滿足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
，將△ADE沿DE折疊到△A1DE的位置，使平面A1DE⊥平面BCDE，連接A1B，A1C．
（1）證明：A1D⊥平面BCDE；
（2）在線段BD上是否存在點(diǎn)M，使得CM∥平面A1DE？若存在，求出BM的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了降低能源損耗，三明市某室內(nèi)體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=
40
kx+5
（0≤x≤10），已知隔熱層厚度為1cm時(shí)，每年能源消耗費(fèi)用為5萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在棱長為1的正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)．
（1）試判斷EF與平面ABC1D1的關(guān)系，并加以證明；
（2）求EF與B1C所成的角；
（3）求三棱錐B-EFC的體積．

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