Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．
（Ⅰ）求實數(shù)m和n的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數(shù)是奇函數(shù)的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系數(shù)法求得m，n或找到m，n的關(guān)系，然全結(jié)合求解．
（II）用單調(diào)性定義證明，先在給定區(qū)間上任取兩個變量，且界其大小，再作差變形看符號．當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化一致時，為增函數(shù)，當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化相反時，為減函數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴
∴n=0
∵．
∴
∴m=2
（II）函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)
證明：任取=∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性解題，一般情況下，已知奇偶性時，用待定系數(shù)法求解問題；同時還考查了用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要注意變形要到位．