Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f（x）=x-[x]，（x∈R），g（x）=log₄（x-1），則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+2）=f（x），得到函數(shù)的周期是2，作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，則f（x）=x-[x]=x，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，則f（x）=x-[x]=x-1，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，則f（x）=x-[x]=x-2，
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，[x]=3，則f（x）=x-[x]=x-3，
當(dāng)4≤x＜5時(shí)，[x]=4，則f（x）=x-[x]=x-4，
當(dāng)5≤x＜6時(shí)，[x]=5，則f（x）=x-[x]=x-5，此時(shí)f（x）∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
即當(dāng)n≤x＜n+1，n≥6時(shí)，[x]=n，則f（x）=x-[x]=x-n∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
分別作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
則兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)[x]的定義，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．