Question

如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，使到點(diǎn)位置，且.

（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，求證：面；

（Ⅱ）求證：面面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接GF，GC，

由四邊形AECG為平行四邊形，

在中，GF//AP，

推出平面APE//平面FGC ；

又所以，CF//面APE.

（Ⅱ）取AE中點(diǎn)O，連接PO,得到

取BC的中點(diǎn)H，連OH，PH，得到

由推出, ,  可得

所以，.

（Ⅲ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接GF，GC，

四邊形AECG為平行四邊形，

在中，GF//AP，

又，

所以平面APE//平面FGC   

又所以，CF//面APE.                  4分

（Ⅱ）取AE中點(diǎn)O，連接PO,則

取BC的中點(diǎn)H，連OH，PH，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050908425783421002/SYS201305090843354280151815_DA.files/image019.png">所以,從而,  

又BC與AE相交，可得

所以，.                           9分

（Ⅲ） .          13分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，體積的計(jì)算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離及體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。折疊問題，要注意折疊前后幾何量的“變與不變”。本題（3）體積計(jì)算中運(yùn)用了“等體積法”，化難為易。