Question

19．直線y=m與y=2x-3及曲線y=x+e^x分別交于A、B兩點，則AB的最小值為2．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁-3=x₂+e^x₂，表示出x₁，求出|AB|，利用導(dǎo)數(shù)求出|AB|的最小值

解答 解：設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），
則2x₁-3=x₂+e^x₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+e^x₂+3），
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-e^x₂-3）|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x-3），
則y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x=0時，函數(shù)y的最大值為-2，
即有|AB|的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．