Question

已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)P(2,0)，邊AB所在直線(xiàn)的方程為x－3y－6＝0，點(diǎn)(－1,1)在邊AD所在的直線(xiàn)上．

(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；

(2)已知直線(xiàn)l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求證：直線(xiàn)l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

解：(1)∵l_AB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，

∴k_AD＝－3，點(diǎn)(－1,1)在邊AD所在的直線(xiàn)上，∴AD所在直線(xiàn)的方程是

y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.

由得A(0，－2)．

∴|AP|＝＝2，

∴矩形ABCD的外接圓的方程是(x－2)²＋y²＝8.

(2)證明：直線(xiàn)l的方程可化為k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是過(guò)直線(xiàn)－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交點(diǎn)(3,2)的直線(xiàn)系，即l恒過(guò)定點(diǎn)Q(3,2)，

由|QP|²＝(3－2)²＋2²＝5＜8知點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，所以l與圓P恒相交，

設(shè)l與圓P的交點(diǎn)為M，N，

|MN|＝2 (d為P到l的距離)，

設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d＝|PQ|·sin θ＝ sin θ，當(dāng)θ＝90°時(shí)，d最大，|MN|最短．

此時(shí)l的斜率為PQ的斜率的負(fù)倒數(shù)，

即－，故l的方程為y－2＝－(x－3)，

即l：x＋2y－7＝0.