Question

（2013•茂名一模）如圖所示，角A為鈍角，且cosA=-

4

5

，點(diǎn)P，Q分別在角A的兩邊上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的長(zhǎng)；
（2）設(shè)∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=

12

13

，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosA，AP與AQ的值代入計(jì)算即可求出PQ的長(zhǎng)；
（2）由cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形求出sin（α+β）與cos（α+β）的值，將所求式子變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）∵A是鈍角，cosA=-

4

5

，AP=5，AQ=2，
在△APQ中，由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，
∴PQ²=5²+2²-2×5×2×（-

4

5

）=45，
∴PQ=3

5

；
（2）∵α為三角形的角，cosα=

12

13

，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

13

，
又sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=cos（π-A）=-cosA=

4

5

，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．