Question

已知數(shù)列的首項，且對任意都有（其中為常數(shù)）.
（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求的通項公式.
（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，從數(shù)列中任意取出相鄰的三項，均能按某種順序排成等差數(shù)列，求的前項和成立的的取值的集合.

Answer 1

（1）或；（2）{2,4,6,8} .

試題分析：（1）對實數(shù)分類討論，①，；②時，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知，公差，則；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，因此（注意是容易漏掉的）或， 在這情況下，可得，故不滿足，因此只有滿足條件，由任相鄰的三項均能按某種順序排成等差數(shù)列，可分為以下三種情況：①；②；③，分別求出看是否滿足條件，由滿足條件的結合確定的取值的個數(shù).
（1）當 時，符合題意，
當時，由于數(shù)列是等差數(shù)列且，所以為常數(shù)，故，得，
所以，或．（6分）（只求得一個得3分）
（2）由數(shù)列為等比數(shù)列，所以得
或， （8分）
若得，故不滿足
所以，得.
由任相鄰的三項均能按某種順序排成等差數(shù)列，即
若得（舍）.
若得（舍）或（舍），
若得舍或，
故得
 即所求值的集合為{2,4,6,8} （13分）