Question

【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),所以導(dǎo)函數(shù)等于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,再通過分離轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),函數(shù)與直線相切時(shí)為臨界值；(2)因?yàn)?/span>是兩個(gè)極值點(diǎn),代入方程,由參變分離,可以把用來表示.要證,即證,即,把用換掉,變量集中構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出最值.

試題解析：解：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，∴方程在上有兩個(gè)不同根，

即方程在上有兩個(gè)不同根.

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖，

可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只需.

令切點(diǎn)，∴，

又，∴，解得，

于是，∴.

（2）由（1）可知分別是方程的兩根，即，，

設(shè)，作差得，即.

原不等式等價(jià)于

令，則，，

設(shè)，，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即不等式成立，

故所證不等式成立.