Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，一動(dòng)直線l過A（-1，0）與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）當(dāng)|PQ|=2

3

時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）探索

AM

•

AN

是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過直線的斜率存在與不存在兩種情況分別判斷直線與圓的關(guān)系，利用圓心距、半徑、半弦長的關(guān)系，通過圓心到直線的距離，求直線l的方程；
（Ⅱ）通過

AM

•

AN

的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為

AC

•

AN

的關(guān)系，通過直線l與x軸是否垂直，即可請(qǐng)求出其值；

解答：解：（Ⅰ）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-1符合題意．…（2分）
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因?yàn)?span id="k4kieai" class="MathJye">PQ=2

3

，所以CM=

4-3

=1．則由CM=

|-k+3|

k2+1

=1，得k=

4

3

．∴直線l：4x-3y+4=0．
從而所求直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)镃M⊥MN，∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

．
①當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得N(-1， -

5

3

)，則

AN

=(0，-

5

3

)．
又

AC

=(1，3)，∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5…（8分）
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
則由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

）．
則

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)．∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
綜上，

AM

•

AN

與直線l的斜率無關(guān)，且

AM

•

AN

=-5．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分類討論的思想與計(jì)算能力．