Question

已知拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若點(diǎn)（2，2

2

）在拋物線(xiàn)上，求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)m交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l上，直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)（2，2

2

）在拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上，可得p=2，從而可求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線(xiàn)m的方程為y=

3

（x-1）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

解答：（Ⅰ）解：∵（2，2

2

）在拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上，
∴由（2

2

）²=2p×2得p=2
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-1
（Ⅱ）證明：過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線(xiàn)m的方程為y=

3

（x-1），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消元可得3x²-10x+3=0，
∴x₁=3，x₂=

1

3

，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），
則k_MA=

2 3 -t

4

，k_MB=-

2 3 +3t

4

，k_MF=-

t

2

∴k_MA+k_MB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2k_MF，
∴k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．