Question

3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則μ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍[2，$\frac{10}{3}$]；若ax+y$≥\frac{{y}^{2}}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍a≥2．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z₁=$\frac{y}{x}$，再利用z₁的幾何意義求最值得出$\frac{y}{x}$的取值范圍，最后將μ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$表示為$\frac{y}{x}$的函數(shù)，即可解出μ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍．若ax+y$≥\frac{{y}^{2}}{x}$恒成立，則a≥t²-t，求出右邊的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：在平面直角坐標(biāo)系上作出可行域后，
原點(diǎn)與可行域內(nèi)任意一點(diǎn)的連線的斜率即$\frac{y}{x}$，
易求當(dāng)連線過(guò)點(diǎn)A（1，2）時(shí)最大，最大值為2；當(dāng)連線過(guò)點(diǎn)B（3，1）時(shí)最小，最小值為$\frac{1}{3}$
∴$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，2]，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，2]，
μ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=t+$\frac{1}{t}$∈[2，$\frac{10}{3}$]；
若ax+y$≥\frac{{y}^{2}}{x}$恒成立，則a≥t²-t，
∵t∈[$\frac{1}{3}$，2]，
∴t²-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$$∈[-\frac{1}{4}，2]$，
∴a≥2．
故答案為：[2，$\frac{10}{3}$]；a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見(jiàn)的問(wèn)題，這類問(wèn)題一般要分三步：畫(huà)出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．