Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和S_n滿足

Sn+4+Sn

2

=S_n+2+4（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件采用賦值法求出數(shù)列的公差d，進一步求出數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進一步求出新數(shù)列的通項公式，最后采用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和．

解答： 解：（1）已知等差數(shù)列{a_n}中，其前n項和S_n滿足

Sn+4+Sn

2

=S_n+2+4（n∈N₊）．
令n=1，則：S₅+S₁=2S₃+8
利用等差數(shù)列的前n項和公式，設(shè)公差為d，a₁=1，
則得到：5a1+

5×4

2

d+a1=2(3a1+

3×2

2

d）+8，
解得：d=2，
所以：a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）a_n=2n-1，
則：bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查的知識要點：賦值法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．