Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,)，且與x軸交于點(diǎn)F(2，0).

(Ⅰ)求直線l的方程；

(Ⅱ)如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅲ)若在(Ⅰ)、(Ⅱ)情形下，設(shè)直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且，當(dāng)||最小時(shí)，求λ對應(yīng)的值.

Answer 1

答案：本小題考查直線、橢圓方程以及向量在解析幾何問題中的應(yīng)用.

解：(Ⅰ)∵P(3,),F(2,0),∴根據(jù)兩點(diǎn)式,得直線l方程為,即y=(x-2).

∴直線l的方程是y=(x-2). 

(Ⅱ)[解法一]設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a＞b＞0),

∵一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),∴c=2.即a²-b²=4  ① 

∵點(diǎn)P(3,)在橢圓=1(a＞b＞0)上,∴=1.  ② 

由①,②解得a²=12,b²=8.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1. 

[解法二]設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a＞b＞0),

∵c=2,a²-b²=4.∴橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁(-2,0).由橢圓過點(diǎn)P(3,), 

∴2a=|PF₁|+|PF₂

∴a²=12,b²=8.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. 

(Ⅲ)[解法一]由題意得方程組

解得  ∴Q(0,), 

∴=(-3,),∴=(-3λ,λ),

∴=(3-3λ,λ).

∴

∴當(dāng)λ=時(shí),最小. 

[解法二]由題意得方程組

解得  ∴Q(0,).

∵=λ∴點(diǎn)M在直線PQ上,∴最小時(shí),必有OM⊥PQ.

∴kO_M=,∴直線OM的方程為y=x.

直線OM與PQ的交點(diǎn)為方程組的解,解之得

∴M,∴,∴,

即=λ(-3,),∴λ=.∴當(dāng)λ=時(shí),最小.