Question

在一段筆直的斜坡AC上豎立兩根高16米的電桿AB，CD，過B，D架設一條10萬伏高壓電纜線．假設電纜線BD呈拋物線形狀，現以B為原點，AB所在直線為Y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，經觀測發(fā)現視線AD恰與電纜線相切于點D（m，n）．
（1）求拋物線BD的方程；
（2）根據國家有關規(guī)定，高壓電纜周圍10米內為不安全區(qū)域，問當有一個身高1.8米的人在這段斜坡上走動時，這根高壓電纜是否會對這個人的安全構成威脅？

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出拋物線BD的方程，利用拋物線在點D處切線的斜率與AD的斜率相等，結合點D（m，n）在拋物線上，即可求拋物線BD的方程；
（2）求出高壓電纜與斜坡AC的垂直距離的最小值，即可得出結論．

解答： 解：（1）設拋物線BD的方程為y=ax²+bx，則
∵點D（m，n），
∴拋物線在點D處切線的斜率為k=2am+b，
∵AD的斜率為

n+16

m

，
∴2am+b=

n+16

m

，
即2am²+bm=n+16，①
∵點D（m，n）在拋物線上，
∴n=am²+bm，②
由①②可得a=

16

m2

，b=

n-16

m

，
∴拋物線方程為y=

16

m2

x²+

n-16

m

x；
（2）斜坡AC所在直線方程為y=

n

m

x-16，
作直線EF∥y軸且分別與拋物線及AC相交于E，F，則
|EF|=（

16

m2

x²+

n-16

m

x）-（

n

m

x-16）=

16

m2

(x-

m

2

)2+12≥12，
∴高壓電纜與斜坡AC的垂直距離的最小值為12米，大于11.8米，
∴這根高壓電纜不會對這個人的安全構成威脅．

點評：本題考查拋物線的應用，考查拋物線的切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．