Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

3

，1)，求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴點P（-1，1）處的切線斜率k=g'（-1）=4，
∴函數(shù)y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程為：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

對x∈（0，+∞）上恒成立．
設h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范圍是[-2，+∞）