Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-m+lnx}{x}$，m∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，若不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系求出單調(diào)區(qū)，即可得到函數(shù)的極值，
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出參數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{m-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e^m，
當(dāng)x∈（0，e^m）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e^m，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=e^m時(shí)，f（x）有極大值，且極大值為f（em）=e^-m，
（2）f（x）≥$\frac{k}{x+1}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴k≤$\frac{x+11+lnx}{x}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{x+11+lnx}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx，
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x＞1，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴k≤2，
故k的取值范圍為（-∞，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和最值得關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍和恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．