已知橢圓的離心率為以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸交于定點(diǎn)Q；

 （III）在（II）條件下，過(guò)點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍。

（本小題滿分13分）

       解：（I）由題意知

      

       故橢圓C的方程為……………………………………4分

   （II）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為

       ①…………6分

       設(shè)點(diǎn)

       直線AE的方程為

      

       整理，得  ②

       由①得代入②

       整理，得x=1.

       所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0）.…………………………9分

   （III）當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q的直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為，且在橢圓C上.

       由  ①

       易知△>0.

       所以

    則

       因?yàn)?sub>

       所以………………………………………………11分

       當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q的直線MN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=1.

       解得

       此時(shí)

       所以的取值范圍是……………………………………13分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對(duì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過(guò)原點(diǎn)，求e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：河北省正定中學(xué)高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，
直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的離心率為以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸交于定點(diǎn)Q；

 （III）在（II）條件下，過(guò)點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍。

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