已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)（-1，
2
2
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)Q（
5
4
，0），動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)F，且直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，證明：
QA
•
QB
為定值．
（Ⅰ）由題意知：c=1．
根據(jù)橢圓的定義得：2a=
(-1-1)2+(
2
2
)2
+
2
2
，解得a=
2
．
所以 b2=2-1=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A(
2
，0)，B(-
2
，0)．
則 
QA
•
QB
=(
2
-
5
4
，0)•(-
2
-
5
4
，0)=-
7
16
．
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x2
2
+y2=1
x=ty+1
，可得：（t2+2）y2+2ty-1=0．
顯然△＞0，則
y1+y2=-
2t
t2+2
y1y2=-
1
t2+2
.
，
因?yàn)閤1=ty1+1，x2=ty2+1，
所以
QA
•
QB
=(x1-
5
4
，y1)•(x2-
5
4
，y2)=(ty1-
1
4
)(ty2-
1
4
)+y1y2
=(t2+1)y1y2-
1
4
t(y1+y2)+
1
16

=-(t2+1)
1
t2+2
+
1
4
t
2t
t2+2
+
1
16

=
-2t2-2+t2
2(t2+2)
+
1
16
=-
7
16
，即 
QA
•
QB
=-
7
16
．
綜上，
QA
•
QB
=-
7
16
，即
QA
•
QB
為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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