Question

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)，若對于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解答：

解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），（2分）

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，

∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=﹣2（5分）

（Ⅱ）=（6分）

令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故當(dāng)時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）．（8分）

（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=（9分）

若對于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）         （10分）

又，x∈[0，1]

①當(dāng)b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，與（*）矛盾

②當(dāng)0≤b≤1時，，由及0≤b≤1得，

③當(dāng)b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，，

此時b＞1（11分）

綜上，b的取值范圍是（12分）