Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA₁=3，點E，F(xiàn)分別在棱BB₁，CC₁上，且C₁F=$\frac{1}{3}$C₁C，BE=$\frac{1}{3}$BB₁．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求直線AA₁與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，又AC?面ABC，∴A₁A⊥AC，從而證得命題
（Ⅱ）在△AEF中，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{5}$則AE²+EF²=AF²，得到垂直關(guān)系，找到高，繼而求得正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，又AC?面ABC，∴A₁A⊥AC
且A₁A∩AB=A，又A₁A，AB?面A₁AB∴AC⊥面A₁ABB₁
（Ⅱ）在△AEF中，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{5}$則AE²+EF²=AF²，
因此∠AEF=90°，∴${S}_{△AEF}=\frac{\sqrt{6}}{2}$又可證BA⊥面A₁ACC₁，
∴B與面A₁AF之間的距離為1，
又可證BE∥面A₁AF，
∴E與面A₁AF之間的距離為1，
∴${V}_{E-{A}_{1}AF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×1=\frac{1}{2}$
設(shè)A₁與面AEF之間的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×h=\frac{1}{2}$
得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AA₁與面AEF所成的角的正弦值為$\frac{h}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

點評 本題主要考查立體幾何中的線面關(guān)系的證明和線面角的求解，屬中檔題型，高考�？碱}型．