Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  2]
• B、[1，2]
• C、(0，

  1

  2

  )
• D、（0，2]

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,對數(shù)的運算性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由偶函數(shù)的性質將f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1）化為：f（log₂a）≤f（1），再由f（x）的單調性列出不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出a的取值范圍．

解答： 解：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f（log

1

2

a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
則f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1）為：f（log₂a）≤f（1），
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，
所以|log₂a|≤1，解得

1

2

≤a≤2，
則a的取值范圍是[

1

2

，2]，
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性的應用，以及對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題．