Question

19．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y+3}{x+2}$的取值范圍是[$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)可得$\frac{x+y+3}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與A（-2，-1）連線的斜率與1的和，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖陰影），
變形目標(biāo)函數(shù)可得$\frac{x+y+3}{x+2}$=$\frac{x+2+y+1}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$，
表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與A（-2，-1）連線的斜率與1的和，
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值1+$\frac{0+1}{2+2}$=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值1+$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{5}{2}$；
故答案為：[$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，涉及直線的斜率公式，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．