Question

（2009•長寧區(qū)二模）設(shè)

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

（其中m為實(shí)常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，試確定函數(shù)解析式；
（2）試寫出一個(gè)m的值，使函數(shù)f（x）在x∈[-2，+∞）上存在反函數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：由題意，先由

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，得出函數(shù)的解析式
（1）由函數(shù)是偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）（或?qū)ΨQ軸x=

m-2

2

=0），解出m的值；
（2）函數(shù)有反函數(shù)，說明函數(shù)在x∈[-2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，故找出可使函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍，寫出一個(gè)即可

解答：解：由條件得f（x）=-x²+（x+1）（m-2）=-x²+（m-2）x+m-2．
（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）（或?qū)ΨQ軸x=

m-2

2

=0），
解得m=2，
因此函數(shù)解析式為f（x）=-x²．
（2）（說明：由

m-2

2

≤-2得m≤-2，學(xué)生只要在m≤-2內(nèi)取值，能說明此時(shí)x與y一一對(duì)應(yīng)或者為單調(diào)函數(shù)，都得滿分）如：
取m=-3，
則f（x）=-x²-5x-5在x∈[-2，+∞）上單調(diào)，因此存在反函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是平面向量綜合題，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)，反函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化出相應(yīng)的條件，第一小題關(guān)鍵是理解偶函數(shù)，第二小題關(guān)鍵是理解反函數(shù)的定義，得出函數(shù)在所給的區(qū)間上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，由此轉(zhuǎn)化出參數(shù)所滿足的條件，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了推理判斷的能力