Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數(shù)，ω＞0，0＜φ＜π），若f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調(diào)性，且f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），則f（π）的值為（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對(duì)稱．由f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調(diào)性，可得x=$\frac{π}{6}$到與它最近的對(duì)稱軸的距離也等于 $\frac{π}{12}$，再求得此對(duì)稱軸方程可得函數(shù)的周期，從而求出ω=3．再根據(jù)f（ $\frac{π}{6}$）=-f（ $\frac{π}{3}$），求得φ=$\frac{π}{4}$，可得f（x）的解析式，從而求得f（ $\frac{π}{ω}$）的值．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數(shù)，ω＞0，0＜φ＜π），
由f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{5π}{12}$對(duì)稱．
∵f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調(diào)性，
x=$\frac{π}{3}$到對(duì)稱軸x=$\frac{5π}{12}$的距離為 $\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{π}{6}$到與它最近的對(duì)稱軸的距離也等于$\frac{π}{2}$，
∴與它最近的對(duì)稱軸的方程為x=$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$為同一周期里面相鄰的兩條對(duì)稱軸，
故函數(shù)的周期為2×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=3．
再根據(jù)f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$），可得sin（$\frac{π}{2}$+φ）=-sin（π+φ），即 cosφ=sinφ，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），f（π）=sin（3π+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性及其求法，確定x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$為同一周期里面相鄰的對(duì)稱軸是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．