Question

2．已知函數(shù)f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）已知0＜m＜n且f（m）=f（n），試探索$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{x-1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，從而作出圖象；
（2）由圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（3）結(jié)合（2）知，f（m）=$\frac{1-m}{m}$=f（n）=$\frac{n-1}{n}$，從而解得．

解答 解：（1）f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{x-1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，
作函數(shù)f（x）的圖象如下，

（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（3）結(jié)合（2）知，若0＜m＜n且f（m）=f（n），
則f（m）=$\frac{1-m}{m}$=f（n）=$\frac{n-1}{n}$，
即$\frac{1}{m}$-1=1-$\frac{1}{n}$，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2．
故$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是定值2．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值函數(shù)的應(yīng)用與分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．