Question

已知函數(shù)f（x）=|x-8|-|x-4|．
（Ⅰ）解不等式|x-8|-|x-4|＞2；
（Ⅱ）f（x）＞a在x∈[-3，5]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=

4，x＜4 -2x+12，4≤x＜8 -4，x≥8

，分類討論求得不等式|x-8|-|x-4|＞2的解集．
（Ⅱ）由題意可得，f（x）在[-3，5]上的最小值大于a，而f（x）在[-3，5]上的最小值為2，可得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-8|-|x-4|=

4，x＜4 -2x+12，4≤x＜8 -4，x≥8

，
顯然，當(dāng)x＜4時，不等式|x-8|-|x-4|＞2成立；當(dāng)x≥8時，不等式|x-8|-|x-4|＞2一定不成立；
當(dāng)4≤x＜8時，再由-2x+12＞2，求得4≤x＜5．
綜上可得，不等式|x-8|-|x-4|＞2的解集為{x|x＜5}．
（Ⅱ）由題意可得，f（x）在[-3，5]上的最小值大于a，而f（x）在[-3，5]上的最小值為2，故有2＞a，
即a的范圍為（-∞，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查對由絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．