Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4x．
（1）當(dāng)a＜-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+4]上的最大值與最小值的差為9，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）滿足：對于任意在區(qū)間D上的實數(shù)x都有f（x+1）＞mf（x），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上周期為1的m倍遞增函數(shù)．已知函數(shù)f（x）為區(qū)間[0，4]上是周期為1的m倍遞增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a+4≤-2，a＜-6時，f（a）-f（a+4）=a²+4a-（a+4）²-4a=9，解得a=-

25

8

，不成立；當(dāng)a＜-2＜a+4時，f（a）-f（-2）=9或f（a+4）-f（-2）=9，由此能求出a的值．
（2）由題意知f（x+1）＞mf（x），從而m＜

(x+1)2+4(x+1)

x2+4x

，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+4x是開口向上，對稱軸為x=-2的拋物線，
∴f（x）的增區(qū)間為[-2，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2]，
∵a＜-2，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+4]上的最大值與最小值的差為9，
∴當(dāng)a+4≤-2，a＜-6時，
f（a）-f（a+4）=a²+4a-（a+4）²-4a=9，
解得a=-

25

8

，不成立；
當(dāng)a＜-2＜a+4時，f（a）-f（-2）=9或f（a+4）-f（-2）=9，
由f（a）-f（-2）=9，得a²+4a-5=0，
解得a=-5，或a=1（舍）．
由f（a+4）-f（-2）=9，得a²+12a+27=0，
解得a=-3，或a=-9（舍）．
綜上：a=-3或a=-5．
（2）∵函數(shù)f（x）為區(qū)間[0，4]上是周期為1的m倍遞增函數(shù)，
∴f（x+1）＞mf（x），
∴（x+1）²+4（x+1）＞m[x²+4x]，
∵0≤x≤4，∴m＜

(x+1)2+4(x+1)

x2+4x

，
解得：m＜

45

32

．

點評：本題考查實數(shù)值和實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．