Question

一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方體容器被水充滿,首先把半徑為a的球放入其中,再放入一個(gè)能被水完全淹沒(méi)的小球,若想使溢出的水量最大,則這個(gè)小球半徑為 (　　)

A.(2-)a

B.(-1)a

C.()a

D.a

Answer 1

思路解析:要想使溢出的水量最大,則大球應(yīng)與正方體的各個(gè)面相切;而小球與大球相切,且與正方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面相切,因此本題的實(shí)質(zhì)是“兩球相外切并分別與正方體相內(nèi)切,求小球的半徑”.如圖,作一個(gè)包含各數(shù)量關(guān)系的截面,即正方體的對(duì)角面.

解:由正方體與球的對(duì)稱性,易知大球的球心O₁在長(zhǎng)方體的對(duì)角線A′C上,且半徑R=a.以下求小球的半徑r,為此先證明小球的球心也在對(duì)角線A′C上.

小球和從頂點(diǎn)C出發(fā)的三個(gè)面相切,因此小球球心在對(duì)角面A′AC上,且小球與下底面的切點(diǎn)N在下底面的對(duì)角線AC上.

∵Rt△O₁FC∽R(shí)t△O₂NC,∴

又O₂N=r,∴tan∠O₂CN=.而tan∠A′CA=,∴O₂在對(duì)角線A′C上.

∵Rt△O₁O₂E∽R(shí)t△A′CA,∴

∴r=(2-)a.選A.

答案:A

方法歸納  為了開(kāi)拓思路,本題還可把O₂C、O₁O₂用r表示后,再求得A′O₁,令它們的和等于r,同樣可得r.