Question

4．若方程（$\frac{1}{4}$）^x+（$\frac{1}{2}$^x-1+a=0）有正數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． 0＜a＜1
• B． -3＜a＜0
• C． -2＜a＜0
• D． -1＜a＜0

Answer 1

分析 為便于處理，不妨設t=（ $\frac{1}{2}$）x，于是可轉化為求關于t的方程t²+2t+a=0的根的問題，明顯地，原方程有正實數解，即可轉化為關于t的方程在（0，1）上有解的問題，即可得解．

解答 解：設t=（$\frac{1}{2}$）x，則有：a=-[（$\frac{1}{2}$）2x+2（$\frac{1}{2}$）x]=-t²-2t=-（t+1）²+1．
原方程有正數解x＞0，則0＜t=（$\frac{1}{2}$）x＜（$\frac{1}{2}$）0=1，
即關于t的方程t²+2t+a=0在（0，1）上有實根．
又因為a=-（t+1）²+1．
所以當0＜t＜1時有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即-4＜-（t+1）²＜-1，
即-3＜-（t+1）²+1＜0，
即得-3＜a＜0．
故選：B．

點評 本題考查函數最值的求法，二次方程根的分布問題，以及對含參數的函數、方程的問題的考查，亦對轉化思想，換元法在解題中的應用進行了考查，屬于中檔題．