Question

13．在一次測量中，誤差在±1%之內(nèi)稱為合格測量．某學生在一次測量中合格與否是等可能的．現(xiàn)對該學生的測量結(jié)果進行考核，共進行5次測量，記分規(guī)則如下表：

合格次數(shù)	0～2	3	4	5
記分	0	3	6	10

（1）求該學生得0分的概率；
（2）記ξ為該學生所得的分數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得該學生5次測量中的合格次數(shù)X～B（5，$\frac{1}{2}$），該學生得0分的概率P=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2），由此能求出該學生得0分的概率．
（2）記ξ為該學生所得的分數(shù)，由已知得ξ的可能取值為0，3，6，10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由已知得該學生5次測量中的合格次數(shù)X～B（5，$\frac{1}{2}$），
∴該學生得0分的概率P=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）
=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}+{C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$
=$\frac{1}{2}$．
（2）記ξ為該學生所得的分數(shù)，由已知得ξ的可能取值為0，3，6，10，
P（ξ=0）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}+{C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{2}$．
P（ξ=3）=P（X=3）${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=10）=P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	6	10
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

Eξ=$0×\frac{1}{2}+3×\frac{5}{16}+6×\frac{5}{32}+10×\frac{1}{2}$=$\frac{35}{16}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．