Question

已知f（x）滿足f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=3，則

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件f（p+q）=f（p）•f（q），以及其變形得到

f(p+q)

f(p)

=f(q)，利用此兩式對(duì)

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用f（1）=3求值

解答：解：由題意f（x）滿足f（p+q）=f（p）•f（q），故有

f(p+q)

f(p)

=f(q)
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

2f(2)

f(1)

+

2f(4)

f(3)

+

2f(6)

f(5)

+

2f(8)

f(7)

=2f（1）+2f（1）+2f（1）+2f（1）=8f（1）
又f（1）=3
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=8f（1）=8×3=24
故答案為  24

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)中的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)恒等式的運(yùn)用，根據(jù)題設(shè)條件對(duì)恒等式進(jìn)行變形，得出規(guī)律，然后利用所得的規(guī)律對(duì)所給的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，本題考查了分析推理的能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想，本題較抽象，要充分挖掘所給的恒等式的作用，從盡可能多的角度研究問題，得出規(guī)律．