Question

已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象大致為如圖，且f（15）=

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，又?x，y∈（0，+∞）都有f（x+y+2）≥

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，則x²+y²+6x+7的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由圖象得：x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，又?x，y∈（0，+∞）都有f（x+y+2）≥

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，從而2＜x+y+2≤15，而x²+y²+6x+7=（x+3）²+y²-2≤（x+y+3）²-2≤16²-2=254，
問(wèn)題解決．

解答： 解：由圖象得：
x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_max=f（0），
∵f（15）=

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，又?x，y∈（0，+∞）都有f（x+y+2）≥

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，
∴2＜x+y+2≤15，
∴0＜x+y≤13，
而x²+y²+6x+7=（x+3）²+y²-2≤（x+y+3）²-2≤16²-2=254，
故答案為：254．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．