Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，f（0）=f（2）；
（1）a，b之間有怎樣的關(guān)系
（2）若f（x）的定義域和值域都是[-1，5]，求a，b，c．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=f（2）可得二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象關(guān)于直線x=1對稱，即-$\frac{2a}$=1，整理可得a，b之間關(guān)系；
（2）若f（x）的定義域和值域都是[-1，5]，結(jié)合（1）中結(jié)論，分a＞0和a＜0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造方程組，解得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，f（0）=f（2）；
∴二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
即-$\frac{2a}$=1，
即b=-2a，
即2a+b=0，
（2）由（1）中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
且f（x）的定義域和值域都是[-1，5]，
若a＞0，則$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\ f（5）=5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=c-a=-1\\ 25a+5b+c=c+15a=5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{8}\\ b=-\frac{3}{4}\\ c=-\frac{5}{8}\end{array}\right.$，
若a＜0，則$\left\{\begin{array}{l}f（1）=5\\ f（5）=-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=c-a=5\\ 25a+5b+c=c+15a=-1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{8}\\ b=\frac{3}{4}\\ c=\frac{37}{8}\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．