Question

12．已知函數(shù)f（x）=lgx（x∈R₊），若x₁，x₂∈R₊，判斷$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]與f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小并加以證明．

Answer 1

分析 先判斷，后證明；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，利用基本不等式及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷符號(hào)，從而證明．

解答 解：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），證明如下，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（lgx₁+lgx₂）-lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
=lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
∵$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴l(xiāng)g$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤0，
即$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用．