Question

【題目】已知從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)看兩短軸端點(diǎn)所成視角為,且橢圓經(jīng)過.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù),使直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在,求出的值.不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在, .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)看兩短軸端點(diǎn)所成視角為,可得，由橢圓經(jīng)過可得，聯(lián)立求解出的值即可求橢圓的方程；（2）由 ,根據(jù)韋達(dá)定理以及經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式列出關(guān)于的方程求解即可.

試題解析：(1）由于從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)看兩短軸端點(diǎn)所成視角為,得,此時(shí),橢圓方程為又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn),

即 ∴橢圓方程為.

（2）由 ,

由或,設(shè),則 ,, 即, , 綜上可知, 實(shí)數(shù)存在且.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.