Question

（本題滿分14分）

如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點，是中點，為上一點．

⑴求證：；

⑵確定點在線段上的位置，使//平面，并說明理由．

⑶當二面角的大小為時，求與底面所成角的正切值．

 

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析；⑵當為中點，即時，平面；

（3）．

【解析】本試題主要是考查了空間立體幾何中點線面的位置關系的綜合運用。

（1）利用線面垂直的性質定理，得到線線垂直的判定。

（2）要使平面，只需，只要建立直角坐標系，解得。

（3）作于，連結，∵面，四邊形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，

∴是二面角的平面角，那么利用直角三角形得到。

⑴∵面，四邊形是正方形，其對角線，交于點，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴                    

⑵當為中點，即時，平面，理由如下：

連結，由為中點，為中點，知，

而平面，平面，

故平面．

⑶作于，連結，

∵面，四邊形是正方形，

∴，

又∵，，∴，

∴，且，

∴是二面角的平面角，

即，

∵⊥面，∴就是與底面所成的角

連結，則，，

∴，

∴，∴，

∴

∴與底面所成角的正切值是．

另解：以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為，則，，，，，，，．（以下略）